维护一个向量集合，支持：

1. 插入一个向量 $(x, y)$；
2. 删除插入的第 $i$ 个向量；
3. 查询当前集合与 $(x, y)$ 点积的最大值是多少，如果当前是空集输出 $0$。

一种构造方法，仅 $532$ 个点，$24115$ 条边的图，使得 Dinic, SAP, ISAP 运行时间均大于 $1s$，
$1198$ 个点，$120796$ 条边运行时间均超过 $1 \mathrm{min}$（当然也可能是我的最大流写得太菜）。

一个函数 $f(x)$，它满足：

1. $f(1) = 1$。
2. $f(p ^ c) = p \oplus c$（$p$ 为质数，$\oplus$ 表示异或）。
3. $f(ab) = f(a)f(b)$（$a$ 与 $b$ 互质）。

求 $\sum\limits_{i = 1} ^ n f(i) \bmod 1000000007$。

定义欧拉函数的变种

特别的，$\phi(1, d) = 1$，求

求 $A = \sum\limits_{i = 1} ^ n \mu(i ^ 2), B = \sum\limits_{i = 1} ^ n \varphi(i ^ 2)$

求 $\sum\limits_{i = 1} ^ n \sigma_{0}(i ^ k)$，$n, k \leq 10 ^ {10}, T \leq 10000$。

扩展埃拉托色尼筛法可以在大约 $O(n ^ {\frac {2} {3}})$ （这里以实际运行效果估计，实际复杂度据说和洲阁筛一样）求出一般积性函数的前缀和，消耗 $O(\sqrt{n})$ 的空间。

要求支持 $2$ 种操作：

1. 向字典中加入一个串 $s$，其权值为 $v$（若重复算作多个串）。
2. 询问一个串 $t$，其中在字典中出现过的单词的权值和（相同单词应被多次计算）。

强制在线。

三模数 NTT 与拆系数 FFT

两个长度为 $10 ^ 5$ 级别的多项式相乘，对 $10 ^ 9$ 级别任意模数取模。

维护一片森林，要求支持加边，询问重心，询问所有树重心编号的异或和。

维护一个森林，每个点有一个函数 $f$，要求支持连接两个点，断开两个点，修改某个点的函数，询问路径上函数 $f(x)$ 的和。

给定一个字符串 $S$，定义一个位置 $i$ 的识别子串为包含这个位置且在原串只出现一次的字符串，求每个位置的识别子串的长度。

求在 $\bmod 10 ^ 9 + 9$ 的意义下，数字 $C$ 在 $\text{Fib}$ 数列的哪个位置，无解输出 $-1$。

给 $n$ 个人，每人有 $5$ 科成绩，给出 $q$ 个成绩查询，输出 $5$ 科都比要查询的这 $5$ 科低的数目。

给出 $n$ 个关键点，求出满足以下条件的点的个数及坐标：

• 距离它最近的关键点有至少 $k$ 个

有 $n$ 种物品，个数无限，价值为 $w$，价格为 $p$，要求支持单点修改，询问 $k$ 元能买的最大价值，要求优先购买能买的物品中价值最大的，相同价值选择价格小的。